测试一下数学公式

0 / 113

证明:函数f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)关于点(m,n)对称的充要条件是:

f(m-x)+f(m+x)=2 n

即:

\left[a(m-x)^{3}+b(m-x)^{2}+c(m-x)+d\right]+\left[a(m+x)^{3}+b(m+x)^{2}+c(m+x)+d\right]=2 n

整理得:

(6 m a+2 b) x^{2}+\left(2 a m^{3}+2 b m^{2}+2 m c+2 d\right)=2 n

根据多项式恒等对应系数相等可得:

m=-\frac{b}{3 a} \text { 且 } n=a m^{3}+b m^{2}+m c+d=f(m)=f\left(-\frac{b}{3 a}\right)

从而三次函数是中心对称曲线,且对称中心是\left(-\frac{b}{3 a}, f\left(-\frac{b}{3 a}\right)\right)